Question

（I） 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点, 求证: 为定值;
（Ⅱ）由 （Ⅰ） 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.

Answer 1

(I) 见解析；
(II) 过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点, 存在定点, 使为定值.

本题主要考查抛物线的基本性质以及直线与圆锥曲线的综合问题．在解决直线与圆锥曲线综合问题时，常把直线方程与圆锥曲线方程联立．
（1）先讨论出当直线l垂直于x轴时，的值；再设出直线方程，把直线与抛物线方程联立，得到A，B两点的坐标和斜率之间的关系，再代入 
计算即可得到结论
（2）先写出类似结论，再根据第一问求 
的方法即可得到结论．（注意要分直线斜率存在和不存在两种情况讨论）．
解: (I) 若直线l垂直于x轴, 则, .
……………2分
若直线l不垂直于x轴, 设其方程为, .
由
……………4分


.
综上, 为定值. ……………6分
(II) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点, 存在定点, 使为定值. ……………7分
证明: 不妨设直线l过椭圆的右焦点其中
若直线l不垂直于x轴, 则设其方程为: , .
由得:
……………9分
由对称性可知, 设点在x轴上, 其坐标为
所以



要使为定值,
只要
即
此时……………12分
若直线l垂直于x轴, 则其方程为, , .
取点,
有……………13分
综上, 过焦点的任意直线l交椭圆于、两点, 存在定点

使为定值.                ……………14分