Question

以椭圆的右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于点M，N，
若过椭圆左焦点的直线MF₁是圆的切线，则椭圆的离心率为                

Answer 1

本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查学生分析问题、解决问题的能力
由题意根据椭圆的定义和焦半径和圆的半径关系得：|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，然后利用过椭圆左焦点的直线MF₁是圆的切线，则利用垂直关系得到直角三角形MF₁F₂结合勾股定理得到，|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，即（2a-c）²+c²=4c^2，整理得2a²-2ac-c²=0，即e²+2e-2=0，解得e=。故答案为。
解决该试题的关键是先根据题意和椭圆定义可知|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|="2c" 进而根据勾股定理建立等式求得e。