Question

在数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（3）设b_n=（2-n）（a_n-1）（n∈N^*），如果对任意n∈N^*，都有bn＜

t

5

，求正整数t的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在递推公式中依次令n=1，2，3计算求解．
（2）由已知可得，S_n=n-a_n，当n≥2时，S _n-1=（n-1）-a_n-1，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1，继而a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），所以数列{b_n}是等比数列，
（3）由（2）得an=1-2-n（n∈N^*），故bn=(n-2)(an-1)=(n-2)•2-n，用作差比较法判断{b_n}的单调性，得出其最大值，令最大值小于

t

5

，求正整数t的最小值．

解答： （1）解：由题意可知：当n=1时，a₁=1-a₁，解得：a1=

1

2

同理可得：当n=2时，a₁+a₂=2-a₂，解得：a2=

3

4

当n=3时，a₁+a₂+a₃=3-a₃，解得：a3=

7

8

（2）证明：由已知可得，S_n=n-a_n，
当n≥2时，S _n-1=（n-1）-a_n-1，
a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1
a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），
即当n≥2时，b_n=

1

2

b_n-1，b₁=a₁-1=-

1

2

≠0
所以数列{b_n}是等比数列，其首项为-

1

2

，公比为

1

2

．
（3）由（2）可知{a_n-1}为等比数列，则an-1=-

1

2

•(

1

2

)n-1
解得：an=1-2-n（n∈N^*），故bn=(n-2)(an-1)=(n-2)•2-n
显然b1=-

1

2

，b₂=0，当n≥3时，b_n＞0
则当n≥3时，
由此可得：当n≥4时，数列{b_n}为单调递减数列，则b₃=b₄=max{b_n}
因此?n∈N^*，都有bn＜

t

5

，则

t

5

＞max{bn}=

1

8

解得：t＞

5

8

，即正整数t的最小值为1．

点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，考查等比数列的判定、通项公式求解，数列的函数性质，考查变形构造、转化、计算能力．