Question

20．为了摸清整个江门大道的交通状况，工作人员随机选取20处路段，在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）：
147  161  170  180  163  172  178  167  191  182
181  173  174  165  158  154  159  189  168  169
（Ⅰ）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图；

通行数量区间	[145，155）	[155，165）	[165，175）	[175，185）	[185，195）
频数

（Ⅱ）现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165，175）、[175，185）及[185，195）的路段中取出7处加以优化，再从这7处中随机选2处安装智能交通信号灯，设所取出的7处中，通行数量区间为[165，175）路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量X（单位：盏），试求随机变量X的分布列与数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （I）利用已知数据即可得出；
（II）用分层抽样的方法抽取7处，即可得出．利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{3}^{2-k}}{{∁}_{7}^{2}}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）

通行数量区间	[145，155）	[155，165）	[165，175）	[175，185）	[185，195）
频数	2	4	8	4	2

…（5分）

（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取7处，则通行数量区间为[165，175]，
[175，185]，及[185，195）的路段应分别取4处、2处、1处…（6分）
依题意，X的可能取值为0，1，2  …（7分）
利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{3}^{2-k}}{{∁}_{7}^{2}}$，可得P（X=0）=$\frac{1}{7}$，P（X=1）=$\frac{4}{7}$，P（X=2）=$\frac{2}{7}$． …（10分）
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

EX=0+1×$\frac{4}{7}$+2×$\frac{2}{7}$=$\frac{8}{7}$．…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样方法、超几何分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．