Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{{{x^2}-1}}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明．

Answer 1

分析 （1）令分母不等于0解出x的范围；
（2）在（1，+∞）上任取两个数x₁＜x₂，化简f（x₁）-f（x₂），判断其符号，得出结论．

解答 解：（1）函数的定义域为{x|x≠±1}．
（2）在（1，+∞）上任取两个数x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}-1}-\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$，
∵1＜x₁＜x₂∴x₂-x₁＞0，$（{x_1}^2-1）（{x_2}^2-1）＞0$，
∴$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数$f（x）=\frac{1}{{{x^2}-1}}$在（1，+∞）上是减函数．

点评 本题考查了利用定义判断函数的单调性，属于中档题．