Question

5．现要将中国南方的新鲜荔枝运到北方甲、乙两地销售，运输时间单位以天计算．从运输出发到目的地所用时间为n天，则新鲜荔枝的品质为n级．据统计，每吨n级新鲜荔枝的利润是：运到甲地200-60n；运到乙地为300-70n．根据历史资料，近期各有10批次运往甲、乙两地的运输时间及频数统计如表：

目的地/频数/运输时间	1	2	3	4	5
甲地	2	4	3	1
乙地		1	3	4	2

以下计算都将频率视为概率，若选择运往甲地或乙地的概率相同（利润单位为：元）
（1）问运往甲地或乙地的新鲜荔枝每吨利润不低于80元的概率；
（2）设运到乙地的新鲜荔枝每吨利润为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；
（3）在同一批次中，把吨位数相同的新鲜荔枝运到甲地和运到乙地所获利润分别为X、Y，求事件“X＞Y”发生的概率．

Answer 1

分析 （1）求出运往甲地、乙地的新鲜荔枝每吨利润不低于80元的概率，再计算运往甲地或乙地的新鲜荔枝每吨利润不低于80元的概率值；
（2）根据题意知运到乙地的新鲜荔枝每吨利润ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值；
（3）列出把同一批次的新鲜荔枝运到甲地和乙地所用时间和每吨利润及概率表，计算运到甲地和运到乙地所获利润X＞Y的概率值即可．

解答 解：（1）运往甲地的新鲜荔枝每吨利润不低于80元的概率为P₁=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
运往乙地的新鲜荔枝每吨利润不低于80元的概率为P₂=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$；
所以运往甲地或乙地的新鲜荔枝每吨利润不低于80元的概率为P=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{2}$；
（2）设运到乙地的新鲜荔枝每吨利润为随机变量ξ，
则ξ的可能取值为160，90，20，-50；
计算P（ξ=160）=$\frac{1}{10}$，
P（ξ=90）=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=20）=$\frac{4}{10}$，
P（ξ=-50）=$\frac{2}{10}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	160	90	20	-50
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{2}{10}$

数学期望为Eξ=160×$\frac{1}{10}$+90×$\frac{3}{10}$+20×$\frac{4}{10}$-50×$\frac{2}{10}$=41；
（3）把同一批次的新鲜荔枝运到甲地和乙地，所用时间和每吨利润及概率如下表；
运往甲地：

天数	1	2	3	4
利润	140	80	20	-40
概率	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{10}$

运往乙地：

天数	2	3	4	5
利润	160	90	20	-50
概率	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$

则运到甲地和运到乙地所获利润X＞Y的概率为：
P（X＞Y）=$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{10}$+$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{12}{25}$，
即事件“X＞Y”发生的概率为$\frac{12}{25}$．

点评 本题考查了古典概型的概率计算以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．