Question

定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（5x）=2f（x），且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f（

3

4

）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由条件f（0）=0，且f（x）+f（1-x）=1，得到f（1）=1，f（

1

2

）=

1

2

，f（

3

4

）=1-f（

1

4

），再由条件f（5x）=2f（x），得到f（

1

5

）=

1

2

，由条件当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），得到f（

1

5

）≤f（

1

4

）≤f（

1

2

），从而求出f（

1

4

）=

1

2

，即可得到所求的函数值．

解答： 解：∵f（0）=0，且f（x）+f（1-x）=1，
∴令x=0，f（0）+f（1）=1，
即f（1）=1，
令x=

1

2

，则f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，
即有f（

1

2

）=

1

2

，
∵f（5x）=2f（x），
∴f（1）=2f（

1

5

），
即f（

1

5

）=

1

2

，
令x=

1

4

，则f（

1

4

）+f（

3

4

）=1，
即f（

3

4

）=1-f（

1

4

），
∵当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
∴由

1

5

＜

1

4

＜

1

2

，得到f（

1

5

）≤f（

1

4

）≤f（

1

2

），
即

1

2

≤f（

1

4

）≤

1

2

，
∴f（

1

4

）=

1

2

，
∴f（

3

4

）=1-f（

1

4

）=1-

1

2

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查函数的单调性及运用，考查推理能力，属于中档题．