题目内容
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=| 2 |
| 6 |
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知棱PA上有一点E．
（ⅰ）若二面角E-BD-A的大小为45°，求AE：EP的值；
（ⅱ）若Q为四棱锥P-ABCD内部或表面上的一动点，且EQ∥平面PDC，请你判断满足条件的所有的Q点组成的几何图形（或几何体）是怎样的几
何图形（或几何体）．（只需写出结果即可，不必证明）
考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）取AB中点H，连接PH，CH，由等腰三角形三线合一可得PH⊥AB，结合已知利用勾股定理可得PH⊥CH，由线面垂直的判定定理可得PH⊥平面ABCD，最后由面面垂直的判定定理可得平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）（ⅰ）以H为原点建立如图所示的空间坐标系H-xyz，设
=λ
(0＜λ＜1)，根据二面角E-BD-A的大小为45°，代入向量夹角公式，求出λ值，可得答案．
（ii）根据线面平行的几何特征，可得所有的Q点组成的几何图形为等腰梯形及其内部，连接PB，AS，BC，PA中点可得答案．
（Ⅱ）（ⅰ）以H为原点建立如图所示的空间坐标系H-xyz，设
| AE |
| AP |
（ii）根据线面平行的几何特征，可得所有的Q点组成的几何图形为等腰梯形及其内部，连接PB，AS，BC，PA中点可得答案．
解答：
证明：（Ⅰ）取AB中点H，连接PH，CH，
∵PAB是正三角形，H为AB中点，AB=2，
∴PH⊥AB，且PH=
．…（2分）
∵ABCD是矩形，AB=2，BC=
，
∴CH=
=
．
又∵PC=
，
∴PC2=PH2+CH2，
∴PH⊥CH．
∵AB∩CH=H，
∴PH⊥平面ABCD．
∵PH?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．…（4分）
解：（Ⅱ） （ⅰ）以H为原点建立如图所示的空间坐标系H-xyz，设
=λ
(0＜λ＜1)，
则
=
+
=(2-λ，0，
λ)，
=(2，
，0)．…（5分）
设平面EBD的法向量为
=（x，y，z），由
，
解得
=(-
λ，
λ，2-λ)，
即平面EBD的一个法向量为
=(-
λ，
λ，2-λ)．…（7分）
又平面ABD的一个法向量为
=(0，0，
)，
∵二面角E-BD-A的大小为45°，
∴cos45°=|cos＜
，
＞|=
=
=
，
又∵0＜λ＜1，解得λ=
，
∴AE：EP=1，
（ii）所有的Q点组成的几何图形为等腰梯形及其内部，如图所示：
∵PAB是正三角形，H为AB中点，AB=2，
∴PH⊥AB，且PH=
| 3 |
∵ABCD是矩形，AB=2，BC=
| 2 |
∴CH=
| 1+2 |
| 3 |
又∵PC=
| 6 |
∴PC2=PH2+CH2，
∴PH⊥CH．
∵AB∩CH=H，
∴PH⊥平面ABCD．
∵PH?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．…（4分）
解：（Ⅱ） （ⅰ）以H为原点建立如图所示的空间坐标系H-xyz，设
| AE |
| AP |
则
| BE |
| BA |
| AE |
| 3 |
| BD |
| 2 |
设平面EBD的法向量为
| n |
|
解得
| n |
| 3 |
| 6 |
即平面EBD的一个法向量为
| n |
| 3 |
| 6 |
又平面ABD的一个法向量为
| HP |
| 3 |
∵二面角E-BD-A的大小为45°，
∴cos45°=|cos＜
| n |
| HP |
|
| ||||
|
|
|2
| ||||
|
| ||
| 2 |
又∵0＜λ＜1，解得λ=
| 1 |
| 2 |
∴AE：EP=1，
（ii）所有的Q点组成的几何图形为等腰梯形及其内部，如图所示：
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的几何特征，平面与平面垂直的判定，用空间求平面间的夹角，难度中档．
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