Question

已知三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）若λ=

1

2

，求四棱锥B-CDFE的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）要证不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC，只需证CD⊥平面ABC，在△BCD中，根据∠BCD=90°得证．
（II）根据V_{三棱锥A-BEF}=V_{三棱锥F-ABE}，得出体积即可．

解答： 证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，…（2分）
∵CD⊥BC，且AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，…（4分）
又∵

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1），
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=

2

，AB=

2

tan60°=

6

，
∴V_A-BCD=

1

3

S△_BCD•AB=

1

3

×

1

2

×

6

=

6

6

            …（8分）
∵λ=

1

2

，∴E为AC的中点，又EF⊥平面ABC
V_B-AFE=

1

3

S△_ABE•EF=

1

6

S△_ABC•EF=

1

6

×

1

2

×1×

6

×

1

2

=

6

24

    …（10分）
∴V_B-CDFE=V_A-BCD-V_B-AFE=

6

8

                  …（12分）

点评：本题考查考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．属于中档题．