Question

【题目】函数的定义域为，且对任意，有，且当时，，

(Ⅰ)证明是奇函数；

(Ⅱ)证明在上是减函数；

(III)若,，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(III)

【解析】

(Ⅰ)令y=-x,代入已知等式通过f(0)=0可判断奇偶性；(Ⅱ)利用函数的单调性定义作差即可得到证明；(III)利用函数的单调性列不等式求解即可.

(Ⅰ)证明：由，

令y=-x,得f[x+(x)]=f(x)+f(x)，

∴f(x)+f(x)=f(0).

又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.

从而有f(x)+f(x)=0.∴f(x)=f(x).

∴f(x)是奇函数.

(Ⅱ)任取，且，

则

由，∴∴<0.

∴>0，即，

从而f(x)在R上是减函数.

(III)若，函数为奇函数得f(-3)=1,

又5=5f(-3)=f(-15),

所以=f(-15),

由得f(4x-13)<f(-15),

由函数单调递减得4x-13>-15,解得x>-,

故的取值范围为