Question

【题目】已知定义域为的函数是奇函数，且．

（1）求a的值；

（2）求证：在定义域上是减函数．

（3）解关于实数的不等式．

Answer 1

【答案】（1） （2）证明见解析 （3）

【解析】

（1）由函数是定义域为R的奇函数，得到，即可求解；

（2）利用函数的单调的定义，即可证得函数在定义域上是减函数；

（3）利用函数是奇函数，把不等式转化为，再利用函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解.

（1）由题意，函数是定义域为R的奇函数，所以，

即，所以，

经检验时，函数是奇函数，所以.

（2）由于，所以，即，

设，

则，

因为且函数在定义域上递增，

可得，，所以，

所以，即，

所以在上的减函数．

（3）由于函数是奇函数，所以，

所以，转化成，

则满足，解得，即不等式的解集为.