题目内容
19．已知F1，F2是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B，若△ABF2是以∠ABF2为顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率的平方为（ ）| A． | 5+2$\sqrt{2}$ | B． | 4+2$\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{7}$ | D． | 3+2$\sqrt{2}$ |
分析 根据题设条件，利用双曲线的定义，推导出|AF2|=4a，再利用勾股定理确定a和c的关系式，由此能求出结果．
解答 解：∵过F1的直线l与双曲线的左支相交于A、B两点，
且三角形ABF2是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴设|BF2|=|AB|=x，∠ABF2=90°，
∴|AF1|=x-|BF1|=2a，
∴|AF2|=4a，
∵∠ABF2=90°，
∴2x2=16a2，解得|BF2|=|AB|=2$\sqrt{2}$a，
∴|BF1|=（2$\sqrt{2}$+2）a，
∴[（2$\sqrt{2}$+2）a]2+（2$\sqrt{2}$a）2=（2c）2，
∴e2=5+2$\sqrt{2}$，
故选A．
点评 本题考查双曲线的离心率的平方的求法，解题时要熟练掌握双曲线的性质，注意数形结合思想的合理运用．
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| C． | 存在一个不能被7整除的数是奇数 | D． | 存在一个能被7整除的数不是奇数 |