已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.点P在椭圆上.且△PF1F2是高为$\sqrt{3}$的等边三角形(1)求椭圆C的方程在椭圆C上.点A.直线AQ交x轴于点M.点Q′为点Q关于x轴的对称点.直线AQ′交x轴于点N.若在y轴上存在点K(0.t).使得∠OKM=∠ONK.求满足条件的点K的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，且△PF₁F₂是高为$\sqrt{3}$的等边三角形
（1）求椭圆C的方程
（2）已知动点Q（m，n）（mn≠0）在椭圆C上，点A（0，$\sqrt{3}$），直线AQ交x轴于点M，点Q′为点Q关于x轴的对称点，直线AQ′交x轴于点N，若在y轴上存在点K（0，t），使得∠OKM=∠ONK，求满足条件的点K的坐标．

分析（1）由已知中△PF₁F₂是高为$\sqrt{3}$的等边三角形，求出a，b值，可得椭圆C的方程
（2）先求出M，N两点的横坐标，进而根据∠OKM=∠ONK，可得|OK|²=|OM|•|ON|，进而可得点K的坐标．

解答解：（1）∵△PF₁F₂是高为$\sqrt{3}$的等边三角形，
∴a=2c=2，b=$\sqrt{3}$，
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，

（2）设M（x₁，0），N（x₂，0），
由Q，A，M三点共线得：$\frac{-\sqrt{3}}{{x}_{1}}=\frac{n-\sqrt{3}}{m}$，
∴x₁=$\frac{-\sqrt{3}m}{n-\sqrt{3}}$，
同理由Q′，A，N三点共线得：x₂=$\frac{\sqrt{3}m}{n+\sqrt{3}}$
若∠OKM=∠ONK，则tan∠OKM=tan∠ONK，
∴$\frac{\left|OM\right|}{\left|OK\right|}=\frac{\left|OK\right|}{\left|ON\right|}$，即|OK|²=|OM|•|ON|，
又∵-$\sqrt{3}$＜n＜$\sqrt{3}$，且n≠0，
∴t²=|$\frac{-\sqrt{3}m}{n-\sqrt{3}}$|•|$\frac{\sqrt{3}m}{n+\sqrt{3}}$|=$\frac{3{m}^{2}}{3-{n}^{2}}$，
又∵动点Q在椭圆C上，
∴3m²+4n²=12，
∴t²=$\frac{{12-4n}^{2}}{3-{n}^{2}}$=4，
解得：t=±2，
∴K的坐标为（0，-2），或（0，2）