题目内容
9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且△PF1F2是高为$\sqrt{3}$的等边三角形（1）求椭圆C的方程
（2）已知动点Q（m，n）（mn≠0）在椭圆C上，点A（0，$\sqrt{3}$），直线AQ交x轴于点M，点Q′为点Q关于x轴的对称点，直线AQ′交x轴于点N，若在y轴上存在点K（0，t），使得∠OKM=∠ONK，求满足条件的点K的坐标．
分析 （1）由已知中△PF1F2是高为$\sqrt{3}$的等边三角形，求出a，b值，可得椭圆C的方程
（2）先求出M，N两点的横坐标，进而根据∠OKM=∠ONK，可得|OK|2=|OM|•|ON|，进而可得点K的坐标．
解答 
解：（1）∵△PF1F2是高为$\sqrt{3}$的等边三角形，
∴a=2c=2，b=$\sqrt{3}$，
∴a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
（2）设M（x1，0），N（x2，0），
由Q，A，M三点共线得：$\frac{-\sqrt{3}}{{x}_{1}}=\frac{n-\sqrt{3}}{m}$，
∴x1=$\frac{-\sqrt{3}m}{n-\sqrt{3}}$，
同理由Q′，A，N三点共线得：x2=$\frac{\sqrt{3}m}{n+\sqrt{3}}$
若∠OKM=∠ONK，则tan∠OKM=tan∠ONK，
∴$\frac{\left|OM\right|}{\left|OK\right|}=\frac{\left|OK\right|}{\left|ON\right|}$，即|OK|2=|OM|•|ON|，
又∵-$\sqrt{3}$＜n＜$\sqrt{3}$，且n≠0，
∴t2=|$\frac{-\sqrt{3}m}{n-\sqrt{3}}$|•|$\frac{\sqrt{3}m}{n+\sqrt{3}}$|=$\frac{3{m}^{2}}{3-{n}^{2}}$，
又∵动点Q在椭圆C上，
∴3m2+4n2=12，
∴t2=$\frac{{12-4n}^{2}}{3-{n}^{2}}$=4，
解得：t=±2，
∴K的坐标为（0，-2），或（0，2）
点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，难度中档．
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某几何体上的三视图如图所示，则该几何体的体积是$\frac{4+π}{3}$．| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $-\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ |