Question

1．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=$\frac{π}{4}$，AC=$\frac{7}{2}$，cos∠ADB=-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
（1）求sin∠C的值；
（2）若BD=5，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由$∠C=∠ADB-\frac{π}{4}$．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．
（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为$cos∠ADB=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
所以$sin∠ADB=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．
又因为$∠CAD=\frac{π}{4}$，
所以$∠C=∠ADB-\frac{π}{4}$．
所以$sin∠C=sin（∠ADB-\frac{π}{4}）=sin∠ADB•cos\frac{π}{4}-cos∠ADB•sin\frac{π}{4}$
=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{10}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{4}{5}$． …（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，由$\frac{AD}{sin∠C}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，得$AD=\frac{AC•sin∠C}{sin∠ADC}=\frac{{\frac{7}{2}•\frac{4}{5}}}{{\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}}=2\sqrt{2}$．
所以${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AD•BD•sin∠ADB=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•5•\frac{{7\sqrt{2}}}{10}=7$．…（13分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．