Question

11．已知条件p：?m∈[-1，1]使不等式a²-5a+5≥m+2成立；条件q：x²+ax+2=0有两个负数根，若p∨q为真，且p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用p∨q为真，p∧q为假，说明p，q一真一假．求出命题p：得到a≤1或a≥4．对于条件q，得到$a≥2\sqrt{2}$，然后推出a的取值范围．

解答 解：∵p∨q为真，p∧q为假，∴p，q一真一假．
由题设知，对于条件p，
∵m∈[-1，1]，∴m+2∈[1，3]，
∵不等式a²-5a+5≥1成立，
∴a²-5a+4≥0，解得a≤1或a≥4．
对于条件q，∵x²+ax+2=0有两个负数解，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{△={a^2}-8≥0}\\{{x_1}+{x_2}=-a＜0}\end{array}}\right.$，∴$a≥2\sqrt{2}$，…（8分）
若p真q假，则a≤1；若p假q真，则$2\sqrt{2}≤a＜4$，
∴a的取值范围是：a≤1或$2\sqrt{2}≤a＜4$，…（10分）

点评 本题考查命题的真假的判断，复合命题的真假，考查逻辑推理能力以及计算能力．