Question

12．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2，∠ACB=90°，点E，F分别是棱AB，BB₁的中点，当二面角C₁-AA₁-B为45°时，直线EF与BC₁的夹角为（　　）

• A． 60°
• B． 45°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 先将EF平移到AB₁，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到直线EF和BC₁所成的角，求之即可．

解答 解：由题意可得∠CAB=45°为二面角C₁-AA₁-B的平面角，△ABC为等腰直角三角形，
连AC₁，取AC₁得中点O，∵E，F分别是棱AB，BB₁的中点，∴OE平行且等于$\frac{1}{2}$BC₁，
∠OEF=θ或其补角，即为直线EF与BC₁的夹角．
由于OE=$\frac{1}{2}$BC₁=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{{BF}^{2}{+EB}^{2}}$=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，OF=$\sqrt{{2}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，
由余弦定理可得cosθ=$\frac{{OE}^{2}{+EF}^{2}{-OF}^{2}}{2OE•EF}$=0，
∴θ=90°，
故选：C．

点评 本题主要考查了异面直线及其所成的角，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，经常考查，属于中档题．