Question

11．在体积为V的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为其内一动点（包括表面），若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，且x+y+z≤1，则点P所有的位置构成的几何体的体积是$\frac{1}{6}$V．

Answer 1

分析 设平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面平行四边形ABCD的面积为S，高为h，可得V=Sh．由于P为平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中内一动点（包括表面），$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，且x+y+z≤1，可得点P所有的位置构成的几何体是三棱锥A₁-ABD．即可得出．

解答 解：如图所示，
设平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面平行四边形ABCD的面积为S，高为h，
则V=Sh．
P为平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中内一动点（包括表面），$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，且x+y+z≤1，
∴点P所有的位置构成的几何体是三棱锥A₁-ABD．
∴三棱锥A₁-ABD的体积=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}$•h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}S$•h=$\frac{1}{6}$V．
故答案为：$\frac{1}{6}$V．

点评 本题考查了平行四面体的性质、三棱锥的体积、空间向量的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．