Question

设函数f（x）=x³-3mx+n（m＞0）的极大值为6，极小值为2，求：
（Ⅰ）实数m，n的值；            
（Ⅱ）f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数f（x）=x³-3mx+n（m＞0）的极大值为6，极小值为2，求导f′（x）=0，求得该函数的极值点x₁，x₂，并判断是极大值点x₁，还是极小值点x₂，代入f（x₁）=6，f（x₂）=2，解方程组可求得m，n的值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知f（x）=x³-3x+4，分别求出端点值，然后再和极值比较，得到最值．

解答： 解：（ I） 由f（x）得f'（x）=3x²-3m，
令f'（x）=0，即3x²-3m=0，得x=±

m

，
∵函数f（x）=x³-3mx+n（m＞0）的极大值为6，极小值为2，
∴f（

m

）=2，f（-

m

）=6
即

-m m +3m m +n=6 m m -3m m +n=2

，
解得

m=1 n=4.

，
（ II）由（ I）知f（x）=x³-3x+4，
从而f（0）=0³-3×0+4=4，f（3）=3³-3×3+4=22，f（1）=1³-3×1+4=2，
所以f（x）有最小值2，有最大值22．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及求函数的最值的问题，属于基础题．