Question

在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）

	篮球	排球	总计
男同学	16	6	22
女同学	8	12	20
总计	24	18	42

（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？
（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．
①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；
②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
下面临界值表供参考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

考点：独立性检验的应用

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）由表中数据得K²的观测值，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅱ）①方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则P（B|A）=

P(A∩B)

P(A)

；方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，则P（C）=

C 2 2

C 2 17

；
②由题知X的可能值为0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）由表中数据得K²的观测值
k=

42×(16×12-8×6)2

24×18×20×22

=

252

55

≈4.582＞3.841．…2分
所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．…4分
（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．
方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则
P（A∩B）=

C 3 3

C 3 18

，P（A）=

C 2 17

C 3 18

．
所以P（B|A）=

P(A∩B)

P(A)

=

C 3 3

C 2 17

=

2

17×16

=

1

136

．…7分
方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，
则P（C）=

C 2 2

C 2 17

=

2

17×16

=

1

136

．
②由题知X的可能值为0，1，2．
依题意P（X=0）=

C 3 16

C 3 18

=

35

51

；P（X=1）=

C 2 16 C 1 2

C 3 18

=

5

17

；P（X=2）=

C 1 16 C 2 2

C 3 18

=

1

51

．
从而X的分布列为

X	0	1	2
P	35 51	5 17	1 51

…10分
于是E（X）=0×

35

51

+1×

5

17

+2×

1

51

=

17

51

=

1

3

．…12分．

点评：考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题．