Question

对于自然数数组（a，b，c），如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差．如果（a，b，c）的极差d≥1，可实施如下操作f：若a，b，c中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若a，b，c中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为f₁（a，b，c），其级差为d₁．若d₁≥1，则继续对f₁（a，b，c）实施操作f，…，实施n次操作后的结果记为f_n（a，b，c），其极差记为d_n．例如：f₁（1，3，3）=（3，2，2），f₂（1，3，3）=（1，3，3）．
（Ⅰ）若（a，b，c）=（1，3，14），求d₁，d₂和d₂₀₁₄的值；
（Ⅱ）已知（a，b，c）的极差为d且a＜b＜c，若n=1，2，3，…时，恒有d_n=d，求d的所有可能取值；
（Ⅲ）若a，b，c是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n满足d_n=0．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据极差的定义，结合（a，b，c）=（1，3，14），可求d₁，d₂和d₂₀₁₄的值；
（Ⅱ）分类讨论，由操作规则，尽快求出d_n=d时，d的所有可能取值；
（Ⅲ）先证明（a，b，c）的极差d₀是3的倍数，依据操作f的规则，当在三元数组f_i（a，b，c）（i=1，2，3，…x，x∈N）中，总满足c_i是唯一最大数，a_i是最小数时，一定有a+x＜b+x＜c-2x，解得x＜

c-b

3

；依据操作f的规则，当在三元数组f_i（a，b，c）（i=

c-b

3

，

c-b

3

+1，…

c-b

3

+y，y∈N）中，总满足c_i=b_i是最大数，a_i是最小数时，一定有

3a+c-b

3

+2y＜

c+2b

3

-y，解得y＜

b-a

3

，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：由题意，d₁=10，d₂=7，d₂₀₁₄=2---------------------------（3分）
（Ⅱ）解：①当d=2时，则（a，b，c）=（a，a+1，a+2）
所以f₁（a，a+1，a+2）=（a+1，a+2，a），d₁=a+2-a=2，
由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数a+2变为最小数a，最小数a和次小数a+1分别变为次小数a+1和最大数a+2，所以数组的极差不会改变．
所以，当d=2时，d_n=d（n=1，2，3，…）恒成立．
②当d≥3时，则f₁（a，b，c）=（a+1，b+1，c-2）
所以d₁=b+1-（a+1）=b-a＜c-a=d或d₁=c-2-（a+1）=d-3
所以总有d₁≠d．
综上讨论，满足d_n=d（n=1，2，3，…）的d的取值仅能是2．---------------------（8分）
（Ⅲ）证明：因为a，b，c是以4为公比的正整数等比数列的三项，
所以a，b，c是形如m•4^k（其中m∈N^*）的数，
又因为4^k=（3+1）^k=3^k+

C

1 k

•3k-1+…+1
所以a，b，c中每两个数的差都是3的倍数．
所以（a，b，c）的极差d₀是3的倍数．------------------------------------------------（9分）
设f_i（a，b，c）=（a_i，b_i，c_i），不妨设a＜b＜c，
依据操作f的规则，当在三元数组f_i（a，b，c）（i=1，2，3，…x，x∈N）中，总满足c_i是唯一最大数，a_i是最小数时，一定有a+x＜b+x＜c-2x，解得x＜

c-b

3

．
所以，当i=1，2，3，…

c-b

3

-1时，d_i=c_i-a_i=（c_i-1-2）-（a_i-1+1）=d_i-1-3．
f

c-b

3

（a，b，c）=（

3a+c-b

3

，

c+2b

3

，

c+2b

3

），d

c-b

3

=b-a
依据操作f的规则，当在三元数组f_i（a，b，c）（i=

c-b

3

，

c-b

3

+1，…

c-b

3

+y，y∈N）中，总满足c_i=b_i是最大数，a_i是最小数时，一定有

3a+c-b

3

+2y＜

c+2b

3

-y，解得y＜

b-a

3

．
所以，当i=

c-b

3

，

c-b

3

+1，…，

c-a

3

-1时，d_i=c_i-a_i=（c_i-1-1）-（a_i-1+2）=d_i-1-3．
f

c-a

3

（a，b，c）=（

a+b+c

3

，

a+b+c

3

，

a+b+c

3

），d

c-a

3

=0
所以存在n=

c-a

3

，满足f_n（a，b，c）的极差d_n=0．----------------------------（13分）

点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，难度大．