Question

如图，P是⊙O：x²+y²=4上任意一点，PQ⊥x轴，Q为垂足．设PQ的中点为M．
（1）求点M的轨迹Γ的方程；
（2）设动直线l与⊙O相交所得的弦长为定值2

3

，l与（1）中曲线Γ交于两点A，B，线段AB的中垂线交⊙O于E，F，求|EF|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用中点坐标公式，确定P，M坐标之间的关系，将P的坐标代入圆的方程，即可求得M的轨迹方程；
（2）设l：y=kx+m（k≠0），利用动直线l与⊙O相交所得的弦长为定值2

3

，圆的半径为2，可得

|m|

1+k2

=1；直线代入椭圆方程，求出AB的中垂线方程，利用O到直线EF的距离为d=

| 3km 1+4k2 |

1+k2

，d最大时，|EF|最小，即可得出结论．

解答： 解：（1）设M（x，y），则P（x，2y）
∵P在圆x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，
∴点M的轨迹Γ的方程是x²+4y²=4；
（2）设l：y=kx+m（k≠0），则
∵动直线l与⊙O相交所得的弦长为定值2

3

，圆的半径为2，
∴O到直线l的距离为1，即

|m|

1+k2

=1，
直线代入椭圆方程，可得（1+4k²）x²+8kmx+（4m²-4）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，
∴AB的中点为（-

4km

1+4k2

，

m

1+4k2

），AB的中垂线方程为y-

m

1+4k2

=-

1

k

（x+

4km

1+4k2

），
化简可得x+ky+

3km

1+4k2

=0，
O到直线EF的距离为d=

| 3km 1+4k2 |

1+k2

，d最大时，|EF|最小．
将

|m|

1+k2

=1代入d=

| 3km 1+4k2 |

1+k2

，可得d=

|3k|

1+4k2

，
∵1+4k²≥4|k|，∴d≤

3

4

（当且仅当|k|=

1

2

时取等号），
∴|EF|≥2

22-( 3 4 )2

=

55

2

，即|EF|的最小值为

55

2

．

点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．