Question

对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．
（1）判断函数f₁（x）=x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；
（2）若函数f₂（x）=tanx是“（a，b）型函数”，求满足条件的实数对（a，b）所组成的集合；
（3）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）=x²+m（x-1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,抽象函数及其应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）是“（a，b）型函数”的定义，判断f₁（x）=x中是否存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，即可得到答案；
（2）根据函数f₂（x）=tanx是“（a，b）型函数”，即可得到f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，即可得到答案；
（3）根据函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4），根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分别求出g（x）在[0，1]和[0，2]上的值域，列出不等式组，求解即可得到m的取值范围．

解答： 解：（1）f₁（x）=x不是“（a，b）型函数”，
∵f₁（x）=x，
∴f₁（a+x）=a+x，f₁（a-x）=a-x，
∴f₁（a+x）•f₁（a-x）=（a+x）（a-x）=b，
即a²-x²=b，
∴不存在实数对（a，b）使得a²-x²=b对定义域中的每一个x都成立，
∴f₁（x）=x不是“（a，b）型函数”；
（2）∵函数f₂（x）=tanx是“（a，b）型函数”，
∴tan（a+x）tan（a-x）=b．
即

tan?a+tan?x

1-tan?atan?x

?

tan?a-tan?x

1+tan?atan?x

=

tan?2a-tan?2x

1-tan?2atan?2x

，
∴当tan²a=1，即tana=±1时，

tan?a+tan?x

1-tan?atan?x

?

tan?a-tan?x

1+tan?atan?x

=

tan?2a-tan?2x

1-tan?2atan?2x

=1=b，
此时a=±

π

4

+kπ，b=1，
∴满足条件的实数对（a，b）所组成的集合（±

π

4

+kπ，1），k∈Z．
（3）∵函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4），
∴g（1+x）g（1-x）=4，
∴当x∈[1，2]时，g(x)=

4

g(2-x)

，其中2-x∈[0，1]，
又∵x∈[0，1]时，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1，其对称轴方程为x=

m

2

，
①当

m

2

＞1，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，
∴g（x）在[0，2]上的值域为[2，m+1]∪[

4

m+1

，2]=[

4

m+1

，m+1]，
由题意，得

m+1≤4 4 m+1 ≥1

，∴2＜m≤3；
②当

1

2

≤

m

2

≤1，即1≤m≤2时，g（x）的值域为[g（

m

2

），g（0）]，
即[m+1-

m2

4

，m+1]∪[

4

m+1

，

4

m+1- m2 4

]，
由题意，得

4 m+1- m2 4 ≤4 m+1≤4

且

m+1- m2 4 ≥1 4 m+1 ≥1

，解得1≤m≤2；
③当0＜

m

2

≤

1

2

，即0＜m≤1时，g（x）的值域为[g（

m

2

），g（1）]，
即[m+1-

m2

4

，2]，
∴g（x）在[0，2]上的值域为[m+1-

m2

4

，2]∪[2，

4

m+1- m2 4

]=[m+1-

m2

4

，

4

m+1- m2 4

]，
由题意，得

m+1- m2 4 ≥1 4 m+1- m2 4 ≤4

，解得0＜m≤1．
综合①②③，所求m的取值范围是0＜m≤3．

点评：本题考查了函数与方程的综合应用．函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．解题的关键是将方程问题转化成函数的问题进行求解．难度较大．