Question

已知函数f（x）=sin（

1

2

x+

π

3

），x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值及最小值；
（3）将函数y=sin（

1

2

x+

π

3

）的图象作怎样的变换可得到y=sinx的图象？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）直接利用正弦函数的单调减区间求解函数f（x）的单调递减区间；
（2）题干x∈[0，π]，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的最大值及最小值；
（3）利用三角函数的平移与实数变换将函数y=sin（

1

2

x+

π

3

）的图象可得到y=sinx的图象．

解答： 解：（1）令z=

1

2

x+

π

3

，则y=sinz，
y=sinz的单调递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，
由2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得：4kπ+

π

3

≤x≤4kπ+

7π

3

，k∈Z，
又z=

1

2

x+

π

3

在R上为增函数，故原函数的单调递减区间为：
[4kπ+

π

3

，4kπ+

7π

3

]k∈Z，
（2）令z=

1

2

x+

π

3

，则y=sinz，z∈[

π

3

，

5π

6

]．
当z=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）有最大值f（

π

3

）=1，
当z=

5π

6

，即x=π时，f（x）有最小值f（π）=

1

2

；…（8分）
（3）法一：将y=sin（

1

2

x+

π

3

）的图象的横坐标变为原来的

1

2

，再向右平移

π

3

个单位．（12分）
法二：将y=sin（

1

2

x+

π

3

）的图象向右平移

2π

3

个单位，再将横坐标变为原来的

1

2

．（12分）

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的单调性以及最值的求法，考查逻辑思维能力以及计算能力．