Question

给定实数a＞1，求函数f（x）=

(a+sinx)(4+sinx)

1+sinx

的最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：化简f（x）=

(a+sinx)(4+sinx)

1+sinx

=1+sinx+

3(a-1)

1+sinx

+a+2，对a分1＜a≤

7

3

与a＞

7

3

讨论，利用基本不等式与双钩函数的性质即可求得函数f（x）=

(a+sinx)(4+sinx)

1+six

的最小值．

解答： 解：f（x）=

(a+sinx)(4+sinx)

1+sinx

=1+sinx+

3(a-1)

1+sinx

+a+2．
当1＜a≤

7

3

时，0＜

3(a-1)

≤2，
此时f（x）=1+sinx+

3(a-1)

1+sinx

+a+2≥2

3(a-1)

+a+2，
且当sinx=

3(a-1)

-1∈（-1，1]）时不等式等号成立，
故f（x）_min=2

3(a-1)

+a+2；
当a＞

7

3

时，

3(a-1)

＞2，此时“双钩”函数
y=t+

3(a-1)

t

在（0，

3(a-1)

]内是递减，
故此时f_min（x）=f（1）=2+

3(a-1)

2

+a+2=

5(a+1)

2

．
综上所述，f_min（x）=

2 3(a-1) +a+2，1＜a≤ 7 3 5(a+1) 2 ，a＞ 7 3

．

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查基本不等式与双钩函数的性质，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题．