Question

7．若a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+2b}=1$，则2a+b的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $4+2\sqrt{3}$
• D． $\frac{1}{2}+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 可设m=a+1，n=a+2b，即有$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，则a=m-1，b=$\frac{1}{2}$（n-a）=$\frac{1}{2}$（n-m+1），可得2a+b=$\frac{1}{2}$（3m+n-3），由3m+n=（3m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{3m}{n}$，运用基本不等式可得所求最小值，注意等号成立的条件．

解答 解：a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+2b}=1$，
设m=a+1，n=a+2b，即有$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，
则a=m-1，b=$\frac{1}{2}$（n-a）=$\frac{1}{2}$（n-m+1），
可得2a+b=2m-2+$\frac{1}{2}$（n-m+1）
=$\frac{1}{2}$（3m+n-3），
由3m+n=（3m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{3m}{n}$
≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{3m}{n}}$=4+2$\sqrt{3}$，
当且仅当n=$\sqrt{3}$m=$\sqrt{3}$+1时，上式取得等号．
则$\frac{1}{2}$（3m+n-3）≥$\frac{1}{2}$（1+2$\sqrt{3}$）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$．
则2a+b的最小值为$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用换元法和变形，以及“1”的代换，考查运算能力，属于中档题．