Question

19．已知集合M={x∈R，|px²-2x+3=0，x∈R}．
（1）若M中只有一个元素，求实数p的值，并求出相应的集合M；
（2）若M中最多有一个元素，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当p=0时，解得x=$\frac{3}{2}$，符合题意，当p≠0时，只需△=0，求解即可得答案；
（2）M中最多有一个元素包括M中只有一个元素和M空集两种情况，分类讨论即可求得答案．

解答 解：（1）若M中只有一个元素，当p=0时，原方程化为-2x+3=0，解得x=$\frac{3}{2}$，符合题意，
当p≠0时，只需△=4-12p=0，即p=$\frac{1}{3}$，由$\frac{1}{3}$x²-2x+3=0，解得x=3，即M={3}．
当p=0时，M={x|$x=\frac{3}{2}$}，
综上，p=$\frac{1}{3}$时，M={3}或p=0时，M={$\frac{3}{2}$}．
（2）若M中最多有一个元素，当p=0时，解得x=$\frac{3}{2}$，符合题意，
当p≠0时，△≤0，即4-12p≤0，解得p≥$\frac{1}{3}$．
综上，实数p的取值范围为：{0}∪[$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了集合的表示法，考查了一元二次方程的解的个数的判断问题，要注意对最高次数项是否为零的讨论，是中档题．