Question

16．已知函数f（x）=x³-3x²-9x+11
（1）写出函数f（x）的递减区间；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）当x∈[-2，4]时，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的极大值和极小值即可；
（3）求出函数f（x）在[-2，4]的最大值，得到关于c的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
故f（x）在（-1，3）递减；
（2）由（1）f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，3）递减，在（3，+∞）递增，
故f（x）_极大值=f（-1）=16，f（x）_极小值=f（3）=-16；
（3）由（2）f（x）在[-2，-1）递增，在（-1，3）递减，在（3，4]递增，
而f（4）=-9，
故f（x）在[-2，4]的最大值是16，
故c²＞16，解得：c＞4或c＜-4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．