Question

对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数k（k∈R），使得f（x+k）+kf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）为k层的螺旋函数，现给出四个命题：
①f（x）=2是2层螺旋函数；　
②f（x）=x²是k层螺旋函数；
③f（x）=4^x是-

1

2

层螺旋函数；
④f（x）=sin（πx）是1层螺旋函数．
其中正确的命题有（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、③④
• D、②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：推理和证明

分析：根据k层的螺旋函数的定义，对每个命题进行判断即可．

解答： 解：对于①f（x）=2是2层螺旋函数，若命题正确，则由f（x+k）+kf（x）=0，得2+2×2=0，矛盾，故①不正确．
对于②f（x）=x²是k层螺旋函数，若命题正确，则（x+k）²+kx²=0，即（1+k）x²+2kx+k²=0对一切实数x恒成立，故矛盾，故②不成立．
对于③，∵f（x）=4^x，∴f（x-

1

2

）-

1

2

f（x）=4 (x-

1

2

)-

1

2

×4^x=

1

2

×4^x-

1

2

×4^x=0恒成立，故③是正确的．
④f（x）=sin（πx）是1层螺旋函数．对于④f（x）=sin（πx）是1层螺旋函数，∵f（x）=sin（πx），∴f（x+1）+f（x）=sin（π+x）+sinx=-sinx+sinx=0恒成立，故④是正确的．
综上，③④是正确的．
故答案为选：C

点评：本题考查函数的新概念的定义，属于基础题．