Question

6．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=2，点E为PC的中点，连接DE，BD，BE．
（1）证明：PA∥平面DBE；
（2）若直线BD与平面PBC所成角的为30°，求点E到平面PDB的距离．

Answer 1

分析 （1）连AC，交BD于O，连OE，则PA∥OE，由此能证明PA∥平面DBE．
（2）推导出PD⊥BC，由V_E-PDB=V_D-PEB，能求出点E到平面PDB的距离．

解答 证明：（1）连AC，交BD于O，连OE，则PA∥OE，
又OE?平面DBE，PA?平面DBE，
∴PA∥平面DBE．…（4分）
解：（2）∵侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC．
底面是矩形，∴BC⊥DC，且PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
∴BC⊥DE．
PD=DC，E为PC的中点，∴DE⊥PC．
又PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC．  …（8分）
故若直线BD与平面PBC所成的角即∠DBE=30°．
由已知可求出$DE=\sqrt{2}，DB=2\sqrt{2}$，∴BC=2．      …（9分）
设点E到平面PDB的距离为h，
$由{V_{E-PDB}}={V_{D-PEB}}得\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2\sqrt{2}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{2}•2•\sqrt{2}$，…（11分）
解得点E到平面PDB的距离$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．