Question

14．命题P：y=$\sqrt{{x}^{2}+mx+4}$的定义域为R；命题q：方程$\frac{x^2}{3-m}+\frac{y^2}{4-m}=1$表示椭圆．
（1）求P真且q真时的实数m的取值范围．
（2）若p∨q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出命题p，q为真时实数m的取值范围，求其交集，可得P真且q真时的实数m的取值范围．
（2）分别求出命题p，q为真时实数m的取值范围，求其并集，可得p∨q为真时的实数m的取值范围．

解答 （本题满分13分）
解：（1）若P为真，则x²+mx+4≥0的解集是R，
∴△=m²-16≤0，
∴-4≤m≤4---------------（3分）
若q为真，则$\left\{{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{4-m＞0}\end{array}}\right.$，
∴m＜3---------------（6分）
∴p真且q真的实数m的取值范围是-4≤m＜3-----（9分）
（2）∵p∨q为真，
∴p、q中至少一个为真
∴实数m的取值范围是m≤4-------------------（13分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，椭圆的标准方程，恒成立问题，难度中档．