Question

16．已知下列五个命题：
①若点P（a，2a）（a≠0）为角α终边上一点，则sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②若sin_α＞sinβ且α，β均为第二象限角，则tanα＜tanβ；
③若θ是第二象限角，则sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$＞0
④若sinx+cosx=-$\frac{7}{5}$，则tanx＜0．
⑤直线x=-$\frac{π}{3}$是函数y=3cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1的图象的一条对称轴．
其中正确命题的序号为②③⑤．

Answer 1

分析 由三角函数的定义求出sinα的值判断①；根据题意，画出单位圆以及α，β为第二象限的角的三角函数线，根据三角函数线得到tanα＜tanβ判断②；利用二倍角的正弦判断③；把已知等式两边平方可得sinx＜0且cosx＜0，x为第三象限角，得tanx＞0判断④；直接求出x=-$\frac{π}{3}$时的函数y=3cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1的函数值判断⑤．

解答 解：①若点P（a，2a）（a≠0）为角α终边上一点，则|OP|=$\sqrt{5}|a|$，
当a＞0时，sinα=$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，当a＜0时，sinα=$\frac{2a}{-\sqrt{5}a}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故①错误；
②若sinα＞sinβ，且α，β均为第二象限角，三角函数线如图，

则tanα＜tanβ，故②正确；
③若θ是第二象限角，则sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}sinθ$＞0，故③正确；
④若sinx+cosx=-$\frac{7}{5}$，得1+2sinxcosx=$\frac{49}{25}$，即sinxcosx=$\frac{12}{25}$，说明sinx＜0且cosx＜0，x为第三象限角，则tanx＞0，故④错误；
⑤∵3cos[2×（-$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=3cos（-π）=-3，∴直线x=-$\frac{π}{3}$是函数y=3cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1的图象的一条对称轴，故⑤正确．
∴正确命题的序号是②③⑤．
故答案为：②③⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．