Question

16．过点$（2\sqrt{2}，0）$直线l与曲线$y=\sqrt{4-{x^2}}$交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取最大值时，直线l的斜率等于-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用当$∠AOB=\frac{π}{2}$时，S_△AOB面积最大，此时O到AB的距离$d=\sqrt{2}$，即可得出结论．

解答 解：如图：∵${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}||{OB}|sin∠AOB$=$\frac{1}{2}sin∠AOB≤\frac{1}{2}$，
当$∠AOB=\frac{π}{2}$时，S_△AOB面积最大．此时O到AB的距离$d=\sqrt{2}$．
设AB方程为$y=k（x-2\sqrt{2}）（{k＜0}）$，即$kx-y-2\sqrt{2}k=0$．
由$d=\frac{{|{2\sqrt{2}k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$得$k=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查点到直线的距离公式，考查数形结合的数学思想，属于中档题．