Question

过点（

2

，0）引直线l与曲线y=

1-x2

相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，从而确定直线斜率
-1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率k的值．

解答： 解：由y=

1-x2

，得
x²+y²=1（y≥0）
∴曲线y=

1-x2

表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）
由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，
若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合
则-1＜k＜0
∴直线l的方程为：y-0=k(x-

2

)
即kx-y-

2

k=0
则圆心O到直线l的距离d=

|- 2 k|

1+k2

=

- 2 k

1+k2

直线l被半圆所截得的弦长为
|AB|=2

r2-d2

=2

1-( - 2 k 1+k2 )2

=2

1-k2 1+k2

∴S△AOB=

1

2

d|AB|
=

1

2

- 2 k

1+k2

•2

1-k2 1+k2

=

2k2(1-k2) (1+k2)2

=

- 4 (1+k2)2 + 6 1+k2 -2

令

1

1+k2

=t
则S△AOB=

-4t2+6t-2

当t=

3

4

，即

1

1+k2

=

3

4

时
S_△AOB有最大值为

1

2

此时，

1

1+k2

=

3

4

∴k=±

3

3

又∵-1＜k＜0
∴k=-

3

3

点评：本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答．