Question

设

m

=(2，1)，

n

=(sinθ，cosθ)，其中θ∈(0，

π

2

)为过点A（1，4）的直线l的倾斜角，若当

m

•

n

最大时，直线l恰好与圆（x+1）²+（y-2）²=r²（r＞0）相切，则r=

 

．

Answer 1

考点：数量积的坐标表达式,圆的切线方程

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：根据向量数量积公式和辅助角公式的出当

m

•

n

最大时θ的值，从而得到直线l的方程，再由圆心到直线的距离等于半径列式运算即可．

解答： 解：∵

m

=(2，1)，

n

=(sinθ，cosθ)，
∴

m

•

n

=2sinθ+cosθ
=

5

sin(θ+μ)，其中tanμ=

1

2

．
∵θ∈(0，

π

2

)
∴当θ+μ=

π

2

时，

m

•

n

=2sinθ+cosθ有最大值．
此时tanμ=

1

2

，
即直线l的斜率为2
∴直线l的方程为y-4=2（x-1）
即，2x-y+2=0．
∵圆（x+1）²+（y-2）²=r²（r＞0）的圆心为（-1，2）
∴圆心到直线的距离d=

|-2-2+2|

5

=

2 5

5

，
∴r=

2 5

5

．

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及转化与化归的思想方法，属于难题．