Question

11．设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{|x-1|≤2}\\{\frac{x+3}{2-x}≥0}\end{array}\right.$．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围
（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过解不等式化简命题p和q，若p∧q为真，则p真且q真，即可得出；
（2）将条件“￢q是￢p的充分不必要条件”转化为“p是q的充分不必要条件”，再利用集合思想得到命题p和q所对应集合的关系，从而求出a的范围．

解答 解：对于命题p：x²-4ax+3a²＜0，即（x-a）（x-3a）＜0，故a＜x＜3a；
对于命题q：$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x-1≤2}\\{（x+3）（x-2）≤0}\\{2-x≠0}\end{array}\right.，得-1≤x＜2$．
（1）若a=1，则命题p：1＜x＜3
∵p∧q为真，∴p真q真．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{-1≤x＜2}\end{array}\right.，得1＜x＜2$，
即实数x的取值范围为（1，2）；
（2）若┐q是┐p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，
故（a，3a）?[-1，2）
又∵a＞0，∴3a≤2，得a≤$\frac{2}{3}$
故a的取值范围为（0，$\frac{2}{3}$]

点评 本题主要考查真值表和充分条件和必要条件的应用，条件“￢q是￢p的充分不必要条件”转化为“p是q的充分不必要条件”是解决本题的关键，注意要熟练掌握不等式的解法．