Question

19．若全集U=R，函数y=$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x+1}$的定义域为A，函数y=$\sqrt{-{x^2}+2x+8}$的值域为B．
（I）求集合A，B；   
（II）求（∁_UA）∩（∁_UB）．

Answer 1

分析 （I）根据函数解析式由意义求解A集合，求出函数y=$\sqrt{-{x^2}+2x+8}$的值域即得集合B；
（II）求出∁_UA和∁_UB．在求（∁_UA）∩（∁_UB）即可．

解答 解：（I）由题意：函数y=$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x+1}$
其定义域满足：$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥0}\\{1+x≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥2．
所以集合A={x|x≥2}．
函数$y=\sqrt{-{x^2}+2x+8}=\sqrt{-{{（x-1）}^2}+9}$
由二次函数的图象及性质：可得值域y：0≤y≤3
∴集合B={y|0≤y≤3}．
（II）由（I） 可得：集合A={x|x≥2}，集合B={y|0≤y≤3}．
那么：C_UA={x|x＜2}，
C_UB={x|x＜0或x＞3}，
∴（C_UA）∩（C_UB）={x|x＜0}．

点评 本题考查了函数定义域和值域的求法和集合的交并补的基本运算，属于基础题．