Question

3．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数f（x）=1+a（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，若函数f（x）在[-2，1]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用定义得到|f（x）|≤3在[-2，1]上恒成立．化简为$-4•{2^x}-{（{\frac{1}{2}}）^x}≤a≤2•{2^x}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$在[-2，1]上恒成立．
设2^x=t，$h（t）=-4t-\frac{1}{t}$，$p（t）=2t-\frac{1}{t}$，求解不等式两端函数的最值，即可得到实数a的取值范围．

解答 解：由题意知，|f（x）|≤3在[-2，1]上恒成立．
所以-3≤f（x）≤3，即$-4-{（{\frac{1}{4}}）^x}≤a{（{\frac{1}{2}}）^x}≤2-{（{\frac{1}{4}}）^x}$．
∴$-4•{2^x}-{（{\frac{1}{2}}）^x}≤a≤2•{2^x}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$在[-2，1]上恒成立．
∴${[{-4•{2^x}-{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]_{max}}≤a≤{[{2•{2^x}-{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]_{min}}$…（4分）
设2^x=t，$h（t）=-4t-\frac{1}{t}$，$p（t）=2t-\frac{1}{t}$，由x∈[-2，1]得$t∈[\frac{1}{4}，2]$，…（6分）
则h（t）在$t∈[\frac{1}{4}，2]$上的最大值为$h（\frac{1}{2}）=-4$，…（9分）
p（t）在$t∈[\frac{1}{4}，2]$上的最小值为$p（\frac{1}{4}）=-\frac{7}{2}$．…（11分）
所以实数a的取值范围为$[-4，-\frac{7}{2}]$．…（12分）

点评 本题考查函数恒成立，函数的最值的求法，换元法的应用，考查计算能力．