Question

已知函数f（x）=x³+x²-3a²x-2a-25
（1）若函数f（x）在（-1，1）上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若a＞0，当0≤x≤3时f（x）≤x²+a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意得f′（x）=3x²+2x-3a²≤0对x∈[-1，1]恒成立，解不等式组，解出即可；
（2）由题意得x³-3a²x-3a-25≤0对x∈[0，3]恒成立，对a进行讨论，从而求出a的取值范围．

解答： 解：（1）由题意得f′（x）=3x²+2x-3a²≤0对x∈[-1，1]恒成立，
∴

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

，解得：a≤-

15

3

或a≥

15

3

，
（2）由题意得x³-3a²x-3a-25≤0对x∈[0，3]恒成立，
令h（x）=x³-3a²x-3a-25，
则h′（x）=3（x+a）（x-a），
∴h（x）在[0，a]递减，在[a，+∞）递增，
当a≥3时，h（0）=-3a-25≤0，满足题意，
当0＜a＜3时，

h(0)=-3a-25≤0 h(3)=2-9a2-3a≤0

，
解得：

1

3

≤a≤3，
综上：a≥

1

3

．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，属于中档题．