Question

已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求得函数的导函数，得到f（1）=-3，f'（1）=0，由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，然后对a分类求解函数的单调期间．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=1时，f（x）=x²-4x+2lnx，
∴f′(x)=

2x2-4x+2

x

(x＞0)，
则f（1）=-3，f'（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-3；
（Ⅱ）f′(x)=

2x2-2(a+1)x+2a

x

=

2(x-1)(x-a)

x

(x＞0)，
由f'（x）=0，得x₁=a，x₂=1，
当0＜a＜1时，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，
在x∈（a，1）时f'（x）＜0，
f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
当a=1时，在x∈（0，+∞）时f'（x）≥0，
∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）．
当a＞1时，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）时f'（x）＞0，
在x∈（1，a）时f'（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的单调区间，关键是掌握导函数的符号与原函数单调性间的关系，是中档题．