Question

设a，b，ω都是正数，函数f（x）=asinωx+bcosωx的周期为π，且有最大值f(

π

12

)=4．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若[

7π

6

， m]是f（x）的一个单调区间，求m的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据函数的周期求出ω，再由最大值f(

π

12

)=4列出方程组，求出a、b的值，利用两角和的正弦公式化简函数解析式；
（Ⅱ）由正弦函数的单调区间求出f（x）的单调区间，由

7π

6

=π+

π

6

和分类讨论：[

7π

6

，m]是增区间和减区间，分别求出m的值，再求出m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=asinωx+bcosωx的周期为π，且ω＞0，
所以

2π

ω

=π，得ω=2，
则f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ），
由最大值f(

π

12

)=4得，

a2+b2 =4 a 2 + 3 b 2 =4

，
解得a=2，b=2

3

，
所以f（x）=2sin2x+2

3

cos2x=4sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得，-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ(k∈Z)，
所以函数f（x）的递增区间是[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)得，

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ(k∈Z)，
所以函数f（x）的递减区间是[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ](k∈Z)，
因为[

7π

6

， m]是f（x）的一个单调区间，且

7π

6

=π+

π

6

=π+

2π

12

，
所以当[

7π

6

， m]是减区间时，即[

7π

6

， m]⊆[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ](k∈Z)，m的值是

7π

12

+π=

19π

12

；
当[

7π

6

， m]是增区间时，即[

7π

6

， m]⊆-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ(k∈Z)，m的值

π

12

+2π=

25π

12

，
所以m的最大值是

25π

12

．

点评：本题考查了正弦函数的性质，两角和的正弦公式，以及分类讨论思想，考查化简计算能力．