Question

函数f（x）=x（x-S₁）（x-S₂）…（x-S₈），其中S_n为数列{a_n}的前n项和，若a_n=

1

n(n+1)

，则f′（0）=（　　）

• A、

  1

  12

• B、

  1

  9

• C、

  1

  8

• D、

  1

  4

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，结合数列求和即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=x（x-S₁）（x-S₂）…（x-S₈），
∴f′（x）=[（x-S₁）（x-S₂）…（x-S₈）]+x[（x-S₁）（x-S₂）…（x-S₈）]′，
则f′（0）=S₁S₂…S₈，
∵a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
则S₁S₂…S₈=

1

2

×

2

3

×…×

8

9

=

1

9

，
故选：B

点评：本题主要考查导数的计算依据数列的求和，综合性较强．