Question

我们把一系列向量a_i（i=1，2，3，…n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{

an

}．已知非零的向量列满足：

a1

=(x1，y1)，

an

=（x_n，y_n）=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2）．
（1）证明数列{|

an

|}是等比数列；
（2）设θ_n表示向量

an-1

，

an

的夹角的弧度数（n≥2），若b_n=

π

4n(n-1)θn

，S_n=b₂+b₃+…+b_n，求S_n；
（3）设

a1

=(1，2)，把

a1

，

a2

，…，

an

中所有与

a1

共线的向量按原来的顺序排成一列，记为

d1

，

d2

，…，

dn

，…，令

ODn

=

d1

+

d2

+…+

dn

，O为坐标原点，求点列{D_n}的极限点D的坐标．（注：若点D_n坐标为（t_n，v_n），

lim

n→∞

tn=t，

lim

n→∞

vn=v，则点D（t，v）为点列{D_n}的极限点．

Answer 1

考点：数列与向量的综合,数列的极限

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）得出|

a1

|≠0，

| an |

| an-1 |

=

2

2

，运用等比数列的定义判断，（2）化简得出b_n=

π

4n(n-1)θn

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，裂项求解，（3）根据向量的平行得出t_n=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]，v_n=2×

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

8

5

[1-(-

1

4

)n]

lim

n→∞

tn=

4

5

，

lim

n→∞

vn=

8

5

，求解即可．

解答： 解：（1）|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

x 2 n-1 + y 2 n-1

=

2

2

|

an-1

|，
∵|

a1

|≠0，

| an |

| an-1 |

=

2

2

∴数列{|

an

|}是等比数列
（2）∵cosθ_n=

an-1 • an

| an-1 || an |

=

(xn-1，yn-1)• 1 2 (xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)

2 2 | an-1 |2

=

1 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

2 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

=

2

2

，
∴θ_n=

π

4

，n≥2，
∴b_n=

π

4n(n-1)θn

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-

1

n

，n≥2，
（3）

a1

=(1，2)，

a2

=(-

1

2

，

3

2

)，

a3

=(-1，

1

2

)，

a4

=(-

1

2

，

3

2

)，

a5

=(-

1

4

，-

1

2

)=-

1

4

(1，2)
∴

a1

∥

a5

∥

a9

∥…
即

dn

=

a4n-3

，

dn

=(-

1

4

)n-1(1，2)
∴t_n=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]，v_n=2×

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

8

5

[1-(-

1

4

)n]
∴

lim

n→∞

tn=

4

5

，

lim

n→∞

vn=

8

5

∴极限点D的坐标(

4

5

，

8

5

)

点评：本题综合考查了数列的性质，求和公式，裂项的思想，属于综合题．