Question

已知函数f（x）=aln（x+1）-ax-x²．
（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+

3

22

+

4

32

+…+

n+1

n2

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（I）由f′(x)=

a

x+1

-a-2x，f′（1）=0，知

a

2

-a-2=0，由此能求出a．
（Ⅱ）由f′(x)=

a

x+1

-a-2x，令f′（x）=0，得x=0，或x=-

a+2

2

，又f（x）的定义域为（-1，+∞），讨论两个根及-1的大小关系，即可判定函数的单调性；
（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x²，由此能够证明ln（n+1）＜2+

3

22

+

4

32

+…+

n+1

n2

．

解答： 解：（1）因为f′(x)=

a

x+1

-a-2x，
令f'（1）=0，即

a

2

-a-2=0，解得a=-4，
经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．
（2）f′(x)=

a

x+1

-a-2x=

-2x(x+ a+2 2 )

x+1

，
令f'（x）=0，得x=0，或x=-

a+2

2

，又f（x）的定义域为（-1，+∞）
①当-

a+2

2

≤-1，即a≥0时，若x∈（-1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；
②当-1＜-

a+2

2

＜0，即-2＜a＜0时，若x∈（-1，-

a+2

2

)，则f'（x）＜0，f（x）递减；
若x∈(-

a+2

2

，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；
③当-

a+2

2

=0，即a=-2时，f'（x）≤0，f（x）在（-1，+∞）内递减，
④当-

a+2

2

＞0，即a＜-2时，若x∈（-1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，-

a+2

2

)，
则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈(-

a+2

2

，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；
（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x²，
∵

1

i

＞0，∴ln(1+

1

i

)＜

1

i

+

1

i2

=

i+1

i2

，i=1，2，3，…，n，
∴ln2+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

＜2+

3

4

+…+

n+1

n2

，
∴ln(n+1)＜2+

3

4

+…+

n+1

n2

．

点评：本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．