Question

不等式|x|≥a（x+1）对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意不等式|x|≥a（x+1）对任意的实数x都成立，讨论x+1、x与0的关系，两边除以x+1，分离出a，利用不等式的性质求最值，分别求出a的范围，最后求出交集即可．

解答： 解：由题意得，不等式|x|≥a（x+1），
①若-1＜x＜0，原不等式化为：a≤-

x

x+1

=-1+

1

x+1

，
又-1+

1

x+1

＞0，则a≤0，
②若x≥0时，原不等式化为：a≤

x

x+1

=1-

1

x+1

又1-

1

x+1

≥0，则a≤0，
③若x＜-1，原不等式化为：a≥-

x

x+1

=-1+

1

x+1

，
又-1+

1

x+1

＜-1，则a≥-1，
④若x=-1，则有1≥0，恒成立；
∵不等式|x|≥a（x+1）对任意的实数x都成立，
∴以上情况取交集得，a∈[-1，0]，
故答案为：[-1，0]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题，运用了分类讨论的思想，解题的关键是去掉绝对值，利用常数分离法进行求解，利用不等式的性质求最值，此类题目是高考常见的题型．