Question

假设数列{a_n}各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列{a_n}的排序数列，例如：数列a₂＜a₃＜a₁，满足则排序数列为2，3，1．
（1）写出2，4，3，1的排序数列；
（2）求证：数列{a_n}的排序数列为等差数列的充要条件是数列{a_n}为单调数列．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据排序数列的定义，即可写出2，4，3，1的排序数列；
（2）根据等差数列的定义以及充要条件的定义即可证明数列{a_n}的排序数列为等差数列的充要条件是数列{a_n}为单调数列．

解答： 解：（Ⅰ）排序数列为4，1，3，2．
（Ⅱ）证明：充分性：D
当数列{a_n}单调增时，∵a₁＜a₂＜…＜a_n，
∴排序数列为1，2，3，…，n．
∴排序数列为等差数列．
当数列{a_n}单调减时，∵a_n＜a_n-1＜…＜a₁，
∴排序数列为n，n-1，n-2，…，1．
∴排序数列为等差数列．
综上，数列{a_n}为单调数列时，排序数列为等差数列．
必要性：
∵排序数列为等差数列
∴排序数列为1，2，3，…，n或n，n-1，n-2，…，1．
∴a₁＜a₂＜…＜a_n或a_n＜a_n-1＜…＜a₁，
∴数列{a_n}为单调数列．

点评：本题主要考查等差数列充要条件的判断，考查学生的推理能力．