Question

15．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，过焦点且垂直于x轴的弦长为2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E右焦点的直线l交椭圆于点M，N，设椭圆的左焦点为F，求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出椭圆焦点坐标，并得到所过定点（2，$\sqrt{2}$），再由椭圆定义可得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，求出M，N的坐标，直接求得$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$的值；当直线l不垂直于x轴，可设l的方程为y=k（x-2），联立直线方程与椭圆方程，借助于根与系数的关系及向量的坐标运算求得$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距是4，∴焦点坐标是（-2，0），（2，0）．
由题意可得，椭圆E过（2，$\sqrt{2}$）点，
∴2a=$\sqrt{（2-2）^{2}+（\sqrt{2}-0）^{2}}+\sqrt{（2+2）^{2}+（\sqrt{2}-0）^{2}}=4\sqrt{2}$．
则a=2$\sqrt{2}$，$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=2$．
∴椭圆E的方程是$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）由题意得，左焦点F（-2，0），右焦点坐标为（2，0）．
若直线l垂直于x轴，则点M（$2，\sqrt{2}$），N（2，-$\sqrt{2}$）．
$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（4，$\sqrt{2}$）•（4，-$\sqrt{2}$）=14；
若直线l不垂直于x轴，可设l的方程为y=k（x-2），设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得到（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0．
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}=（{x}_{1}+2，{y}_{1}）•（{x}_{2}+2，{y}_{2}）$=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+2（1-{k}^{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+4（1+{k}^{2}）$
=$\frac{28{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}=14-\frac{18}{1+2{k}^{2}}$．
∵0＜$\frac{18}{1+2{k}^{2}}$＜18，∴$-4＜\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}＜14$，
∴$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$的取值范围是[-4，14]．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线的综合运用，属中档题．