Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=1+

1

an-1

，求证：1≤a_n≤2．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法，证明即可．

解答： 证明：1°n=1时，a₁=1，符合题意；
2°设n=k时，结论成立，即1≤a_k≤2，
则n=k+1时，a_k+1=1+

1

ak

，
∴a_k=

1

ak+1-1

，
∴1≤

1

ak+1-1

≤2，
∴1≤a_k+1≤2，即n=k+1时，结论成立．
由1°、2°可知，1≤a_n≤2．

点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．