Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a_n+1=

8an-12

3an-4

，n∈N^*，b_n=

1

an-2

．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）已知以数列{b_n}的公差为周期的函数f（x）=Asin（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）]在区间[0，

1

2

]上单调递减，求φ的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的通项公式

专题：点列、递归数列与数学归纳法,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由b_n=

1

an-2

得到bn+1=

1

an+1-2

，作差后代入a_n+1=

8an-12

3an-4

整理即可证得数列{b_n}为等差数列，
求出b₁后代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）由周期公式求出ω，由x的范围求得ωx+φ的范围为[φ，

2π

3

+φ]，利用[φ，

2π

3

+φ]?[

π

2

，

3π

2

]求解φ得范围．

解答： （Ⅰ）证明：∵bn+1-bn=

1

an+1-2

-

1

an-2

=

1

8an-12 3an-4

-

1

an-2

=

3an-4

2an-4

-

1

an-2

=

3an-6

2an-4

=

3

2

．
∴数列{b_n}是首项为b1=

1

a1-2

=

1

3

，公差为

3

2

的等差数列，
故bn=

1

3

+

3

2

(n-1)=

9n-7

6

；
（Ⅱ）解：由于函数f（x）的周期T=

2π

ω

，
∴ω=

2π

T

=

2π

3 2

=

4π

3

，
又x∈[0，

1

2

]，
∴

4π

3

x+φ∈[φ，

2π

3

+φ]?[

π

2

，

3π

2

]，
则

φ≥ π 2 2π 3 +φ≤ 3π 2 .

，
∴φ∈[

π

2

，

5π

6

]．

点评：本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定及等差数列的通项公式的求法，对于（Ⅱ）的求解，关键是找到区间[φ，

2π

3

+φ]与[

π

2

，

3π

2

]的关系，是中档题．