Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

a

•

b

=

1

3

，cosα=

1

7

，0＜β＜α＜

π

2

，求sinβ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值

分析：要求sinβ，可通过角的变换β=α-（α-β），运用两角差的正弦公式，由cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

，根据平方关系求出sinα，根据数量积的坐标运算可得cos（α-β），由0＜β＜α＜

π

2

，通过平方关系求出sin（α-β），代入即可．

解答： 解：∵cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

，
∴sinα=

1-cos2α

=

1-( 1 7 )2

=

4 3

7

，
∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

a

•

b

=

1

3

，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=

1

3

，即cos（α-β）=

1

3

，
∵0＜β＜α＜

π

2

，∴0＜α-β＜

π

2

，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，
∴sinβ=sin[α-（α-β）]
=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=

4 3

7

×

1

3

-

1

7

×

2 2

3

=

4 3 -2 2

21

．

点评：本题主要考查两角和与差的正弦函数及其运用，考查平面向量的数量积的坐标运算，以及同角三角函数的平方关系，还考查三角运算中的角的变换即用已知的角表示未知角，值得重视．