Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列．
（1）若b=

3

2

，求a+c的取值范围；
（2）若

1

a

，

1

b

，

1

c

也成等差数列，求A、C的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,等差数列的性质

专题：三角函数的求值

分析：（1）由A、B、C成等差数列，利用等差数列的性质求出B的度数，得到sinB的值，再由b的值，利用正弦定理表示出a与c，代入a+c中，用A表示出B，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出a+c的范围；
（2）由

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理化简，将sinB的值代入，利用和差化积公式变形，设cos

A-C

2

=t，得到关于t的方程，求出方程的解得到t的值，即为cos

A-C

2

的值，即可确定出A与C的度数．

解答： 解：（1）∵A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，
∴B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
∵b=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3 2

3 2

=1，即a=sinA，c=sinC，
∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

（

3

2

sinA+

1

2

cosA）=

3

sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，即

3

2

＜

3

sin（A+

π

6

）≤

3

，
则a+c的范围为（

3

2

，

3

]；
（2）∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，
∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，
∴由正弦定理化简得：

1

sinA

+

1

sinC

=

2

sin π 3

=

4

3

，
整理得：sinA+sinC

4

3

sinAsinC，
∴2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=-

4

3

×

1

2

[cos（A+C）-cos（A-C）]，
即

3

cos

A-C

2

+

2

3

[-

1

2

-cos（A-C）]=0，
设cos

A-C

2

=t，则有3t-1-2（2t²-1）=0，
整理得：（4t+1）（t-1）=0，
解得：t=-

1

4

（舍去）或t=1，
∴cos

A-C

2

=1，即A-C=0，
∴A=C=B=60°．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，等差数列的性质，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．